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20° — 60° — 50° — 30°? (Simple geometry problem)

以下是一條看似很簡單的幾何題目,不過站長也想了很久,因為內在計算實在是不簡單!

大家可以試試,用了多久? 答案在下面,先不要看。另外如果大家有更簡單的方法也可以在下面提供。

題目很簡單: 在下面圖中求 a。

答案 (請滾動向下):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Let y=BD,
∠DAE = 180° – (20°+ 60°) – (50° +30°) = 20° (∠ sum of △)

BD = y
y/ sin50° = BE/ sin80°
BE = y sin80°/ sin50°

∠ABE = 180°- 30°- ∠DAC = 130°
BE/ sin20° = AB/ sin30°
AB = y sin80°sin30°/ (sin50°sin20°)

AE/ sin130° = BE/ sin20°
AE = y sin80°sin50°/ (sin50°sin20°)
AE = y sin80°/ sin20°

∠DBE = 180° – (20°+ 60°) -50° = 50° (∠ sum of △)
∴ DE = DB = y (sides opp. eq. ∠s)
∠DCE = 180° – 60° – (50°+ 30°) = 40° (∠ sum of △)

y/ sin40°= DC/ sin80°
DC = y sin80°/ sin40°

AB/BD = y sin80°sin30°/ (y sin50°sin20°)
= sin80°sin30°(1/ sin50°)/ sin20°
AE/CD = (y sin80°/ sin20°)(sin40°/y sin80°)=sin40°/ sin20°

sin80° sin30° (1/ sin50°) – sin40°
=(1/2)sin80°/cos40° – sin40°
=sin80°/ (2cos40°) – 2cos40°sin40°/ (2cos40°)
=[sin80° – 2(1/2sin80°)]/ (2cos40°)
=0
∴sin80° sin30° (1/ sin50°) = sin40°

∴AB/BD = sin40°/ sin20° i.e. AB/BD = AE/CD
∠DAE = ∠BDC = 20°
∴ △BAE ~ △BDC (ratio of 2 sides, inc. ∠ eq.)
∴ a = ∠BEA = 30°

One comment on “20° — 60° — 50° — 30°? (Simple geometry problem)

  1. 巨棍小男孩
    2013/02/27

    有什麼難…….我用了5分鐘…….

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This entry was posted on 2013/01/19 by in tony200910041.

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