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分享: 二次函數因式分解 (十字相乘 cross method) 的不同做法

十字相乘 (cross method) 是用作解決二次函數 (quadratic function, f(x)=ax2+bx+c) 因式分解而產生的方法。

基本的原理是找出一組能計算出答案的因式,每次均要由頭嘗試,所以可能要花很多時間。

先看看這個:

(3x+5)(2x-1)

=6x2-3x+10x-5

=6x2+7x-5

不難看得出二次函數的組成,最關鍵是2個x項加起來變成最終x項。

所以把二次函數分解的方法大多著重於找出中間x項的組成。

 

1. 十字相乘法 (Cross method)

例1: 因式分解 (factorize) 6x2+x-2

先寫出 x2 係數 (coefficient) 和常數項 (constant term): 6=(1)x(6)=(2)x(3) 以及 -2=(-1)x(2)=(1)x(-2)。注意: 如果係數為正,只須試正因數; 不過如果係數為負,也要同時試負因數。

這裡要逐對試: 先試哪個沒有影響,不過很多時亦要試很多次才找到正確答案。

例如先試 1×6

這樣逐對試計,直至計到 x 係數 1 (計算方法是把交叉連起來的兩組相乘,兩個答案再相加):

結果因為 (1)(6) 組合未能成功,要試 (2)(3) 組合:

而這時因為終於計到 x (即x係數為1),所以便可停下來讀取答案:

注意: 我們計算x係數時是交叉乘再相加的,不過這時則要橫向讀出解答。

6x2+x-2=(2x-1)(3x+2)

注意: 如果一直試到最後一個可能均不能得出 x係數,則表示二次函數無法分解。

不過可能大家到了這裡已有一個問題: 如果 x2 係數及常數項均是很大的合數 (composite number, which can be prime-factorized),那麼不就要試很多次了嗎?

的確是的。所以:

 

十字相乘法的優點:

1. 基本。只要有充足時間,逐個試計,不難計算出因式。

十字相乘法的缺點:

1. 容易發生錯誤,例如交叉相乘再相加時計算錯誤、忘記正負號、讀取答案時錯誤等等。

2. 如果 x2 係數式常數項是很大的合數,或是因數很多的合數,計算時間可能會很長,故十字相乘法將變得效率很低。

所以才有其他方法的出現。

 

2. AC 法 (AC method)

AC 法是一個十分好用的方法,其嘗試會較十字相乘快。

先看看以下兩條等式:

(1):

ax2+bx+c=(a2x2+abx+acx)/a

(2):

(ax+m)(ax+n)=(a2)x2+a(m+n)x+(mn)

這樣,(m+b) 和 b 同為x係數,mn 和 ac 同為常數項:

(ax+m)(ax+n)/a=((a2)x2+a(m+n)x+(mn))/a

ax2+bx+c=(ax+m)(ax+n)/a if m+n=b and mn=ac

故只要找出對應的 m 和n,接著即可把二次函數變形。

用回例子 6x2+x-2,

先計算出 ac 為 6(-2) = -12 及 b=1,

這時就要想: mn=-12 and m+n=1。

不用怎樣解方程的,多做數次便可以做得更快。發現 (4)(-3)=12 及 (4)+(-3)=1

所以,

6x2+x-2=(6x+4)(6x-3)/6=(2)(3x+2)(3)(2x-1)/6

6x2+x-2=(2x-1)(3x+2) 的答案也很易計到。一般而言,除非二次函數一開始已可抽出常數因子,否則分母可以完整約掉。

 

AC 法的優點:

1. 相對地比十字相乘法快速 (嘗試時間較短),而且也容易掌握。

AC 法的缺點:

1. 如果 x係數或 ac 乘起來很大,結果還是會很難完成。

2. 較難判斷是否能分解 (當然也可以使用下面的方法4)。

 

3. 併項法 (grouping of terms)

其實這個不算是什麼方法,不過對於簡單二次函數,這個方法將會十分有效。

在上面已經提及過,x係數是由兩項相加組成的,所以只要想到如何把 x係數分解為兩項即可以。

用回例子 6x2+x-2

方法重點是要把函數拆成 ax2+px+qx+c (p+q=b),而 a:p=q:c。

6x2+x-2

=6x2+4x-3x-2      (4-3=1 及 6:4=3:2)

=(6x2+4x)-(3x+2)

=2x(3x+2)-(1)(3x+2)

=(2x-1)(3x+2)

不要以為很簡單,其實很難。

 

併項法的優點:

1. 對於簡單函數,既快速也直覺化。

2. 推而廣之,可在其他有三項的多項式 (trinomial) 使用

併項法的缺點:

1. 對數學技術要求較高,所以未必每個人均可掌握。

2. 對係數較大的二次函數,會較難想如何拆開 x項。

3. 較難判斷是否能分解 (當然也可以使用下面的方法4)。

 

擴展於三項式使用:

例: x3-2x2-5x+6

x3-2x2-5x+6

=x3-x2-x2-5x+6

=x2(x-1)-(x2+5x-6)

=x2(x-1)-(x2-x+6x-6)

=x2(x-1)-[x(x-1)+6(x-1)]

=x2(x-1)-(x+6)(x-1)

=(x-1)(x2-x-6)

=(x-1)(x2+2x-3x-6)

=(x-1)[x(x+2)-3(x+2)]

=(x-1)(x-3)(x+2)

正是這方法的好用之處。

 

4. 一元二次方程 (Quadratic equation)

這是站長最常用的方法。

學過 Quadratic equation 都知道可以利用十字相乘法或求根公式解答:

例: 6x2+x-2=0

方法 1:

6x2+x-2=0

(2x-1)(3x+2)=0

2x-1=0 or 3x+2=0

x=1/2 or -2/3

<or>

方法 2:

6x2+x-2=0

x={-1+-√[(1)^2-4(6)(-2)]}/[(2)(6)]=1/2 or -2/3

當中使用了二次求根公式 (Quadratic formula)

 

不過如果要計出二次函數分解後的因式,其實也可以先解 f(x)=0,然後再算回因式。

上面也有點像因式定理 (factor theorem) 一樣:

 

Factor theorem:

(ax-b) is a factor of f(x) if and only if f(b/a)=0.

意即如果得出方程 f(x)=0 的解為 b/a,則 f(x) 含有因式 (ax-b)。

而 Factor theorem 還有一個特別情況:

In particular,
(x-a) is a factor if and only if f(a)=0.

意即如果得出方程 f(x)=0 的解為 a,則 f(x) 含有因式 (x-a)。

而由於一般的二次方程均有兩個根 (root),所以可以得出兩條因式,而這正是所而要的答案。

因此,只要我們先計算 f(x)=0 的根,便可以利用兩個根來計算出因式。

 

用回例子 6x2+x-2:

先解 6x2+x-2=0,當然會使用求根公式或配方法 (method of completing the square),而因為只需要求出兩根,使用求根公式也較快。

6x2+x-2=0

x={-1+-√[(1)^2-4(6)(-2)]}/[(2)(6)]=1/2 or -2/3

這裡當然也可使用計算機,或在計算機中輸入程式來運算。

然後使用 Factor theorem,

By factor theorem,

Since 1/2 and -2/3 is the roots of the equation 6x2+x-2=0,

(2x-1) and (3x+2) are factors of 6x2+x-2.

Therefore,

6x2+x-2=(2x-1)(3x+2)

 

不過其他要注意的東西也多的:

(i) 判斷能否分解

根據二次方程的判別式 (discriminant),

Δ=b2-4ac

When Δ>0, the equation has two unequal real roots.

When Δ=0, the equation has two equal real roots (or called as「one root」or 「repeated root」).

When Δ=0, the equation has no real roots (or called「two unequal unreal root」).

有以上定義的原因是求根公式中有 √Δ。

當 Δ>0,

如果√Δ為有理數 (rational number) (即Δ為有理數的平方,分數也可),則兩根也會是有理數。

如果√Δ為無理數 (irrational number),則得出兩根均為無理數。這時即無法使用 factor theorem 找回因式,也代表無法分解。不過如果因式接受根式的話,也可以分解。

當 Δ=0,

√Δ=√0=0,根為 -b/(2a) (即 (-b+-√0)/(2a) ),只有一個根,但遇到這種情況時,二次函數可以使用完全平方恆等式 (perfect square) 來分解。

當 Δ<0,

√Δ 為複數 (complex number),這時代表不能分解 (沒有實數因式,不過如果接受使用 complex number 作因式,也是可以分解的)。

因此,對一般的 f(x)=ax2+bx+c 的因式分解而言,

只要 b2-4ac 能表示為一個有理數的平方,即可以分解。

 

(ii) 常數因子

採用這個方法的另一問題是要計算出常數因子。

例: 12x2+2x-4=0

使用計算機計出兩根,結果為 x=1/2 or -2/3。

不過如果就此說 12x2+2x-4=(2x-1)(3x+2) 就錯了。

為什麼? 因為 12x2+2x-4 其實可以先抽常數因子2。不過這次是2還可以看清楚,如果常數因子是其他數,則可能較難看得出,或是一開始也忘了抽常數因子,得出答案時其實可以這樣處理:

先找回 x2 係數 (a),假設答案因式得出 (px+q)(rx+s),計出 a÷p÷r 即為常數因子。

設常數因子為 k。

這是因為利用十字相乘分解的方法解方程時,將計出 (kpx+kq)(rx+s)=0,這時 k 其實是可以抽出作常數因子 k(px+q)(rs+x)=0,但 k0,故約走了,所以才沒有了k。

故 k(px+q)(rs+x) 其實即是 ax2+bx+c,而把係數對位,a=kpr,即 k=a÷p÷r。

同樣在上面例子 12x2+2x-4,12x2+2x-4=2(2x-1)(3x+2),k=12÷2÷3=2。

 

這方法的好處:

1. 不用嘗試,方法十分簡單,只需要沿著步驟計算即可。亦可容易看出能否分解。

2. 不受數字大小所影響。

3. 同樣道理,對於更高次函數的因式分解,也可以使用類似方法。

缺點:

1. 對於簡單的二次函數,計算反而可能較慢,不過熟悉了後利用計算機也可計算得很快。

2. 計算步驟較繁複,也有很多特點需要注意。

 

如果有疑問和其他意見、方法,或上面方法有任何錯誤等,也可在下面留言。多謝。(以上使用了中文引號「」是因為 wordpress 系統自動修改。)

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This entry was posted on 2013/04/13 by in tony200910041.

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